Fries-Symmetrien (Streifenornamente)

Fries-Symmetrien (Streifenornamente)

Ein Fries ist ein (als unendlich lang zu denkendes) periodisches Ornament, das zwischen zwei parallelen Geraden eingeschlossen ist. Damit es periodisch ist, muss zu seinen Symmetrie-Abbildungen, die es mit sich selbst zur Deckung bringen, eine kürzeste Translation t (Parallelverschiebung) in Richtung dieser Geraden gehören. Wiederholte Ausführung von t ergibt unendlich viele weitere Translationen, t² = t°t, t³ = t°t°t,..., die das Ornament ebenfalls auf sich selbst abbilden. Die Umkehrungen aller dieser Translationen sind Translationen in entgegengesetzter Richtung

Peruanisches Textilmuster

Außer diesen unendlich vielen Translationen, die immer zur Familie der Symmetrien eines Frieses gehören, kann es weitere Symmetrieabbildungen geben:

sw		Spiegelungen an der waagerechten Mittellinie w des Streifens,
ss		Spiegelungen an einer zu den begrenzenden Geraden Senkrechten s,
d		Drehungen um 180 Grad um einen Punkt P der Mittelparallelen sowie
g		Gleitspiegelungen, d.h. Translationen in Längsrichtung mit anschließender Spiegelung an der waagerechten Mittellinie.

Im folgenden Bild sind die möglichen Stellungen einer "Fahne" F im Fries nach Ausführung je einer dieser Abbildungen markiert, womit zugleich klar wird, dass unsere Aufzählung von Möglichkeiten vollständig ist.

Da sowohl die Hintereinanderausführung ° als auch die Umkehrung von Symmetrie-Abbildungen des Ornamentes wieder Symmetrieabbildungen sind (die Symmetrien bilden bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe), kann das Resultat von Verknüpfungen ° zweier solcher Abbildungen in einer quadratischen Tabelle fixiert werden, welche hier abgekürzt ist. (In Wahrheit gibt es ja unendlich viele solche Abbildungen, und wenn man die Translation t und dann nochmals t ausführt, bekommt man natürlich als Resultat nicht t sondern eine andere Translation t². Ebenso meint g°g = t in unserer Tabelle nur, dass irgendeine Translation entsteht, wenn man irgend zwei (eventuell verschiedene) Gleitspiegelungen nacheinander ausführt. Während es also unendlich viele Abbildungen der Arten t, g und ss gibt, sind sowohl sw als auch d nur einzelne Abbildungen. Führt man eine dieser beiden zweimal aus, d.h. verknüpft man sie mit sich selbst, so entsteht die identische Abbildung i, die alles an seinem Platz lässt.

	2. Abbildung
1. Abbildung	° t ss sw d g t t ss g d g ss ss t d g d sw g d i ss t d d g ss t ss g g d t ss t

Was bei der Hintereinanderausführung zweier konkreter Abbildungen genau passiert, kann man am besten klären, wenn man benutzt, dass

1. Hintereinanderausführung zweier Spiegelungen an zueinander senkrechten Achsen eine Drehung um den Schnittpunkt dieser Achsen um 180 Grad ergibt und jede solche Drehung auch so darstellbar ist.
2. Hintereinanderausführung der Spiegelungen an zwei parallelen (hier dann stets senkrechten) Achsen eine Translation senkrecht zu diesen Achsen (also waagerecht) um den doppelten Abstand der beiden Achsen ergibt.

Die Klassifikation äußerlich sehr unterschiedlich gestalteter Friesornamente in nur 7 verschiedene Typen ergibt sich daraus, dass es in der Gruppe aller Deckabbildungen eines Parallelstreifens nur 7 Teilsysteme gibt, die unter sich schon eine Gruppe bilden. Wir listen diese sieben Typen auf und geben jeweils einen (ästhetisch uninteressanten) Fries in Gestalt einer Reihe von Symbolen mit dieser Symmetrieeigenschaft und ein oder zwei Beispiele aus verschiedenen Kulturkreisen bzw. Epochen an:

1. nur Translationen ...P P P P P...

   Babylon

2. Translationen und Drehungen um 180° ...S S S... Man beachte, dass sich Drehpunkte sowohl in der Mitte jedes Buchstaben als auch in der Mitte zwischen je zwei Buchstaben befinden. Man übertrage dies sinngemäß auf die folgenden Beispiele.

   antikes Olympia	Italien 15. Jh.

3. Translationen und Spiegelungen an waagrechter Mittalachse, folglich auch Gleitspiegelungen ...C C C...

   Byzanz 5./6. Jh.	Kloster Maulbronn, 14. Jh.

4. Translationen und Spiegelungen an senkrechten Achsen ...A A A... Man beachte, dass sich Spiegelachsen sowohl in der Mitte jedes Buchstaben als auch zwischen je zwei Buchstaben befinden. Man übertrage dies auf die folgenden Beispiele.

   Theben, Altägypten	Chorsabad, antikes Assyrien

5. Translationen, Spiegelungen an waagrechten und senkrechten Achsen, folglich auch Gleitspiegelungen ...X X X...

   Peruanisches Textilmuster Palast in Nimrud

   Fachwerkhäuser in Quedlinburg

6. Gleitpiegelungen (folglich auch Translationen) und Spiegelungen an senkrechten Achsen

   Fußboden der Sanct Marien-Kirche in Rom

7. Nur Gleitspiegelungen und die sich daraus ergebenden Translationen

   Sanct Cunibert, Köln, romanisch

Bei der Durchsicht umfangreichen historischen Materials fällt auf, dass die beiden letztgenannten Typen, in denen Translationen erst durch die Hintereinanderausführung von Gleitspiegelungen auftreten, letztere also als "Erzeugende" gebraucht werden, sehr viel seltener auftreten als die Typen 1. bis 5. Offenbar sind Gleitspiegelungen nicht so leicht zu entdecken und anschaulich zu verarbeiten wie die anderen Abbildungen.

Der folgende "Entscheidungsbaum" gibt bei einem beliebigen vorliegenden Fries den Typ der Symmetriegruppe an.

Geflochtene Friesornamente

Gelegentlich, typisch vor allem in der islamischen Ornamentik, treten "Flechtmuster" auf.

Fußböden römischer Villen

Fußboden San Marco, Venedig Fußboden in Pisa

Cordoba Sevilla

Will man bei derartigen Friesornamenten das Über- und Untereinander nicht ignorieren, so muss man sich als "Ort der Handlung" statt des ebenen Parallelestreifens einen unendlich langen dreidimensionalen Strang von rechteckigem Querschnitt vorstellen, dessen "Schauseite" viel breiter ist als die dazu senkrechte "Tiefe" des nun reliefartigen Ornaments, das aber meist nicht räumlich ausgeführt sondern nur in der Ebene abgebildet wird. Wie das folgende Bild zeigt, gibt es nun statt 5 möglichen Positionen der Fahne F nach Ausführung einer Deckabbildung 11 solche Positionen.

Mögliche Symmetrien bei geflochtenen Friesornamenten

Diese sind gerade die Translation entlang der x-Achse, Drehungen um die x-, y- und z-Achse, Spiegelungen an den zu den Raumachsen senkrechten Ebenen, Punktspiegelung am Schnittpunkt der Raumachsen, Gleitspiegelungen und die Schraubung um die x-Achse. (Translation, Gleitspiegelungen und Schraubung sind nur in Richtung des Frieses möglich, da sie sonst aus dem Bereich des Frieses herausführen würden.)

Die Suche nach Untergruppen und einige theoretische Überlegungen ergeben in diesem Fall, dass es 31 verschiedene Klassen von geflochtenen Friesornamenten gibt. Um die Fantasie und Neugier der Besucher anzuregen, sind im folgenden drei ausgewählte Beispiele mit den zugehörigen Symmetrie-Abbildungen angegeben. Analog kann der interessierte Besucher selbst versuchen einige der 31 geflochtenen Friesornamente aufzuspüren.

1. Rotation an allen drei Raumachsen und Schraubung
   
2. Rotation um die y- und z-Achse und Schraubung
   
3. Spiegelung an den zur x- und z-Achse senkrechten Ebenen, Rotation um die y- und z-Achse, Punktspiegelung, beide Gleitspiegelungen und Schraubung
   

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