Axiom des Euklid

Axiom des Euklid

Das Axiom des Euklid besagt,daß es zu einer Geraden der Ebene durch einen beliebigen Punkt dieser Ebene immer nur eine Parallele gibt.

Die beiden Modelle derjenigen Geometrie, in der man mehr als eine Parallele der beschriebenen Art hat, wurden von Felix Klein (1845-1925) und Henri Poincaré (1854-1912) definiert. Beide lassen sich im Innern einer Kreisscheibe realisieren, wobei die Randpunkte dieser Kreisscheibe gewissermaßen die unendlich fernen Punkte dieser Ebene sind. Es gibt aber einen wichtigen Unterschied zwischen beiden Modellen. Im Modell von Klein werden die Geraden durch Sehnen der Kreisscheibe repräsentiert. Im Modell von Poincaré werden die Geraden durch Kreisbögen in der Kreisscheibe dargestellt, die von Rand zu Rand laufen und dort jeweils senkrecht einmünden.

Modell von Klein	Modell von Poincaré

Obwohl auf den ersten Blick das erstgenannte Modell

Kreislimit III

einfacher zu sein scheint, stellt sich heraus, daß man nur im Modell von Poincaré das elementare Konstruieren im Modellsinn mit Zirkel und Lineal nachvollziehen kann. Escher hat es gewußt und das Poincaré-Modell für seine mehrfach unter dem Titel Kreislimit III (1999 Cordon Art B.V.-Baarn-Holland) ornamentierten Kreisscheiben benutzt. Er füllte sie mit halbregulären Parkettierungen, deren Elemente gegen den Rand hin beliebig klein werden, während sie im Sinne der inneren Geometrie dieses Modells durch die Hintereinanderausführung von Spiegelungen auseinander hervorgehen. Zugleich ist dies ein Beispiel für die Aussage im Abschnitt Parkette und Pflaster, daß nicht nur die Mathematik zur Erweiterung des Symmetriebegriffes mittels anderer als der Kongruenzabbildungen übergegangen ist, sondern auch die Kunst sich dessen schon bemächtigt hat.

Eine achtzigjährige (!) Leserin des Buches

Kreislimit III - Kopie

5000 Jahre Geometrie - Geschichte, Kulturen, Menschen [Scriba und Schreiber, 2000] wurde durch das dort auf Seite 523 abgebildete Kreislimit III von M. C. Escher angeregt, dieses Bild nachzugestalten. Das Resultat möchten wir den Besuchern unserer virtuellen Ausstellung präsentieren.

Axiom des Euklid