Satz von Pohlke

Satz von Pohlke

Der Satz von Pohlke 7.12 (auch als Hauptsatz der Axonometrie bezeichnet)

• Ein echt zweidimensionales Dreibein ist gegeben, wenn die drei Strecken OA, OB, OC nicht in einer gemeinsamen Geraden liegen. (Es kann aber z.B. eine dieser Strecken sogar zu einem Punkt entarten, nämlich wenn sie in der Richtung der Projektionsstrahlen liegt.)
• In einem räumlich-kartesischen Dreiben sind die Strecken O'A', O'B', O'C' gleichlang und schließen paarweise rechte Winkel ein, d.h. sie bilden die von einer Ecke 0' ausgehenden Kanten eines Würfels bzw. die Einheiten eines räumlichen Koordinatensystems. Kennt man ihre Bilder in der Ebene, so liegt auch der Bildpunkt jedes anderen Raumpunktes fest.

Der Satz von Pohlke liefert die theoretische Rechtfertigung für das bei z.B. architektonischen Freihandzeichnungen übliche Vorgehen, die Bilder der Koordinatenrichtungen und ihre Maßeinheiten ,,nach Gefühl" (oder Vorschrift) zu wählen, ohne sich um die dazu erforderliche Blickrichtung zu kümmern. Da der Satz jede (noch so extreme) Wahl rechtfertigt, ist er ,,fast paradox".

Das Modell im Bild soll die Aussage des Satzes illustrieren: auf der Bodenplatte sind zwei sehr verschiedene ebene Dreibeine abgebildet, die Parallelprojektionen desselben räumlich-kartesischen Dreibeins sind. Die jeweiligen Projektionsrichtungen werden durch die roten bzw. weissen Schnüre angedeutet.

Man kann den Satz konstruktiv beweisen, d.h. auf eine solche Art, daß sich daraus eine Konstruktion der Richtung der Projektionsstrahlen aus dem vorgegebenen ebenen Dreibein ergibt. Ein sehr schöner und relativ einfacher Beweis erschien 1978, unglücklicherweise in einer skandinavischen mathematischen Fachzeitschrift und in schwedischer Sprache, daher von der internationalen Fachwelt kaum beachtet: Tauno Salenius, Elementärt Bevis för Pohlkes Sats. Nordisk Mat. Tidskrift Bd. 25/26, 150-152.

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