Symmetrie und Ornamente
Symmetrie im heutigen Sinn ist das älteste Bindeglied zwischen
Geometrie und der dekorativen Gestaltung von Flächen und Gegenständen.
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August Ferdinand Möbius |
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Wir finden sie in allen Kulturen und zu allen Zeiten, meist in einer
für die jeweilige Kultur charakteristischen Ausprägung. Das aus dem
Griechischen stammende Wort hatte jedoch bis ins 19. Jahrhundert eine
andere Bedeutung als heute. Es bezeichnete das wiederholte Auftreten
derselben Verhältnisse (Proportionen) an verschiedenen Teilen eines
Gebäudes oder Kunstwerkes im Kleinen und im Großen. An der
Bedeutungsänderung des Wortes zu seinem jetzigen Inhalt hin hatte die
sich im 19. Jahrhundert stark entwickelnde Mineralogie und Kristallographie
großen Anteil.
Der Leipziger Mathematiker August Ferdinand Möbius
(1790-1868) schrieb 1849 in einer Arbeit über Kristallsymmetrie:
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Eine Figur soll symmetrisch (in weiterem Sinne) heißen, wenn sie
einer ihr gleichen und ähnlichen Figur auf mehr als eine Art gleich
und ähnlich gesetzt werden kann.
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1851 schrieb er in einer Arbeit über symmetrische Figuren:
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So wie jede Größe sich selbst gleich ist, so ist auch jede Figur
sich selbst gleich und ähnlich. Es gibt aber Figuren, welche sich
selbst auf mehr als eine Art gleich und ähnlich sind, und solche
Figuren sollen symmetrisch genannt werden... Am sichersten dürfte
der Grad der Symmetrie einer Figur durch die Zahl bestimmt werden,
welche angibt, auf wie viel verschiedene Arten die Figur sich gleich
und ähnlich ist.
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Hiernach hätten sowohl eine Gerade als auch eine Kreislinie, eine
Ebene, eine Kugeloberfläche und der ganze leere Raum den Symmetriegrad
kontinuierlich unendlich. Durch das Eintragen einer einzigen
ganz unsymmetrischen Figur in eine solche hochsymmetrische
geometrische Struktur reduzieren wir den Symmetriegrad sofort auf sein
Minimum 1: Das Ganze läßt sich nur noch auf die eine Art mit sich
selbst zur Deckung bringen, dass man es an seinem Platz läßt. Der
kreative Gestalter interessiert sich aber für solche Figuren (Muster),
die eine endliche oder wenigstens diskrete (und daher abzählbar
unendliche) Mannigfaltigkeit von Deckabbildungen zulassen.
In der Ebene unterscheiden wir folgende Arten von Symmetrien:
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Kirche Santa Katarina in Pisa |
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- Zentralsymmetrien:
- alle zulässigen Deckabbildungen sind
Drehungen um einen gemeinsamen Mittelpunkt oder Spiegelungen an
einer Geraden durch diesen Punkt, siehe Fußbodenmosaike des
Markusdoms in Venedig.
- Fries-Symmetrien:
- ein Streifenmuster
endlicher Breite, aber potentiell unendlicher Länge wird durch
- Verschieben in sich,
- Drehen um 180 Grad,
- Spiegeln an Längs- und/oder Querachsen mit sich selbst zur
Deckung gebracht,
- Symmetrien von flächendeckenden Mustern,
- die mindestens
Verschiebungen in zwei verschiedenen Richtungen gestatten, wie
die ägyptischen Ornamente unten und
3.7 3.8 3.10 3.11.
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Theben um 1200 v.Chr.
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Theben um 1500-1300 v.Chr.
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Kathedrale von Pisa |
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Zu hoher Blüte gelangte die Ornamentkunst besonders in den islamischen
Ländern, siehe Beispiele islamischer
Ornamentkunst. Dieser Stil strahlte auch in die in
direktem Kontakt zu ihnen stehenden christlichen Länder des
Mittelmeerraumes aus wie etwa der Fußboden im Baptisterium der
Kathedrale von Pisa aus dem 12. Jahrhundert zeigt, siehe kleines Bild
rechts (Foto: A. Speltz).
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Kirche St. Lorenz in Turin |
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Während ebene Muster als typische Deckabbildungen im allgemeinen
Translationen (Verschiebungen) gestatten, sind auf der Kugeloberfläche nur
Drehungen und Spiegelungen (an Großkreisen bzw. an Ebenen durch den
Kugelmittelpunkt) möglich. Allgemeiner trifft dies für die Symmetrien
begrenzter räumlicher Objekte zu, was besonders für die im 5. Thema zu
besprechenden Polyeder eine Rolle spielt. Wie unter diesen Umständen ein
rotationssymmetrisches Ornament aussehen kann, zeigen wir am Beispiel der
annähernd halbkugelförmigen Kuppel der Kirche St. Lorenz in Turin
(erbaut Ende des 17. Jhs. Von dem berühmten Barock-Architekten Guarino
Guarini).
Symmetrie ist natürlich auch bei räumlichen Objekten möglich. Ein
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Würfel von Vivarelli |
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Kubus (Würfel) gestattet 48 Deckabbildungen: Für eine beliebige Ecke
E seiner acht Ecken kann man eine der acht Ecken als
zugeordnete (Bild-) Ecke f(E) wählen, danach für eine der drei von
E ausgehenden Kanten k eine der drei von f(E) ausgehenden Kanten
als f(k), und schließlich für eines der zwei an k grenzenden
Quadrate q eines der zwei an f(k) grenzenden Quadrate als f(q).
In dem modernen Kunstobjekt von C. Vivarelli ist diese
Würfelsymmetrie durch eine aufgeprägte Struktur so abgeschwächt, dass
nur noch 12 Deckabbildungen möglich sind: Für eine beliebige Ecke gibt
es nur noch drei weitere gleichartige (insgesamt also vier). Die drei
von der Bildecke ausgehenden Kanten sind gleichartig, die beiden an
eine Kante angrenzenden Seitenflächen jedoch nicht. Es gibt also 4 mal
3 Zuordnungsmöglichkeiten.
Die schon in den genannten Fällen nicht ganz einfache Klassifikation
aller Möglichkeiten gehört zum Gegenstand der Gruppentheorie. Sowohl
diese Theorie als auch der Begriff der Symmetrie überhaupt haben
vielfältigste Anwendungen in den verschiedensten Naturwissenschaften,
die daher auch zur Verallgemeinerung der Konzepte geführt haben: Die
Grundmenge, auf die die Symmetrieabbildungen angewendet werden, kann
viel komplizierter bzw. abstrakter als eine Ebene oder ein
Ebenenstreifen sein, und die Symmetrien müssen nicht Deckabbildungen
im naiven geometrischen Sinn sein. Selbst solche Verallgemeinerungen
hat sich mittlerweile die Kunst erschlossen (siehe dazu
Eschers Kreislimit). Der Ursprung liegt aber im
Bedürfnis des Menschen, seine Umwelt dekorativ zu gestalten. In Anbetracht
der großen Rolle, die Symmetrie in der modernen Wissenschaft spielt, können
wir sie als das
historisch erste große Geschenk der Kunst an die Mathematik
bezeichnen.
WWW-Gestaltung: Alexander Wolff und
Paul Rosenthal,
11. Juli 2006
