Die vierte Dimension

Die vierte Dimension

Nun wollen wir aber mit Hilfe einiger Modelle der vierten Dimension auf die Spur kommen. Beginnen wir beim Würfel. Seine zweidimensionale

Modell des 4-dimensionalen Würfels

Entsprechung ist ein Quadrat, dessen ein-dimensionale Entsprechung eine Strecke. Verschiebt man diese Strecke senkrecht zu ihr um eine Distanz, die gleich ihrer Länge ist, so erzeugt man das Quadrat. Verschiebt man das Quadrat senkrecht zu seiner Ebene um eine Strecke, die gleich seiner Seitenlänge ist, so überstreicht man einen Würfel. Hätte man also noch eine zum dreidimensionalen Raum senkrechte Richtung zur Verfügung, so könnte man den Würfel in dieser Richtung um eine seiner Kantenlänge gleiche Strecke verschieben und bekäme einen vierdimensionalen Würfel. Eine physikalisch sinnvolle Deutung dieser vierten Dimension ist die Zeit. Existiert eine Strecke in einem Zeitintervall, dessen Länge wir nach entsprechender Wahl der Maßeinheit gleich seiner Seitenlänge setzen, so können wir dies in einem Koordinatensystem der Ebene als Quadrat darstellen, analog das in einem Zeitintervall existierende Quadrat als Würfel. Der Würfel läßt sich aber durch eine Zentralprojektion in die Ebene abbilden, wobei die vordere Würfelfläche größer als die hintere erscheint, obwohl beide gleichgroß sind. Analog läßt sich der vierdimensionale Würfel durch eine Zentralprojektion in den Raum abbilden, wobei sein Anfangszustand (der äußere Würfel des Modells) größer als sein Endzustand (der innere Würfel des Modells) ist. Die als rote Fäden realisierten 8 weiteren Kanten stellen die Bahnen der Würfelecken in der Zeitrichtung dar.

Eine zweite Möglichkeit, ein Polyeder in der Ebene abzubilden, die

Netz des 4-dimensionalen Würfels

wir schon bei Dürer sahen, ist die Abwicklung der Oberfläche (das Netz). Aus dem zentralperspektiven Modell des vierdimensionalen Würfels entnehmen wir, daß er von 8 dreidimensionalen Würfeln begrenzt wird (dem inneren und äußeren mit weißen Kanten und den sechs zu Pyramidenstümpfen verzerrten, die jeweils von einer Grundfläche außen, einer Deckfläche innen und den Trapezen mit roten Seitenkanten begrenzt werden. "Klappt" man nun diese sechs Würfel nach außen, so hat man nur noch an einen von diesen den inneren Deckwürfel anzuhängen, und man erhält in Analogie zum bekannten Netz des gewöhnlichen Würfels das ebenfalls im Modell dargestellte dreidimensionale Kreuz aus 8 Würfeln, von denen einer von außen nicht zu sehen, weil von seinen sechs Nachbarn eingehüllt ist.
Nun erst sind wir in der Lage, den Zusammenhang zwischen dem Bild

Corpus hypercubicus

"Corpus hypercubicus" von Salvador Dalí und seinem Titel zu verstehen und auch den Schlüssel dazu, den Dalí auf dem Fußboden in Gestalt der Abwicklung des dreidimensionalen Würfels gegeben hat. Ein bisschen erstaunt darf man schon sein, wie tief ein Künstler hier in die abstrakten Gedanken der Mathematik eingedrungen ist. Die übrigen Modelle vierdimensionaler regulärer Polyeder (sie waren Bestandteil der 1996 in Greifswald angefertigten Diplomarbeit von Frau I. v. Hugo, Betreuer Prof. Flachsmeyer) seien dem Besucher kommentarlos zum Betrachten empfohlen. Lediglich der Hinweis, daß man ein Tetraeder aus einem Dreieck entstanden denken kann, indem man alle Punkte eines gleichseitigen Dreiecks mit einem in der neuen dritten Dimension gelegenen vierten Eckpunkt verbindet bzw. , falls die neue Dimension die Zeit ist, das Dreieck in einem Zeitintervall zu einem Punkt schrumpfen läßt. Damit wird der Betrachter das vierdimensionale Tetraeder mit seinen fünf Ecken verstehen. Es ist schon seit mehr als 100 Jahren bekannt, daß es im vierdimensionalen Raum genau 6 reguläre Polyeder (man sagt in höheren Dimensionen Polytope) gibt, von denen aber zwei wegen der Zahl von 120 bzw. 600 begrenzenden Polyedern nur an wenigen Stellen der Welt als Modelle realisiert wurden. Von der Dimension 5 an gibt es stets nur drei reguläre Polytope: Die entsprechenden Verallgemeinerungen des Tetraeders, des Würfels und des zum Würfel dualen Polytops. Ohne Zweifel haben auch die anderen gezeigten Polytopmodelle einen ästhetischen Reiz. Es ist nur eine Frage der Zeit, daß ein Künstler sie mit einer Idee zu einem Werk verbindet.

4-dimensionales Tetraeder	regelmäßiges 4-dimensionales Polyeder

Die vierte Dimension